每个区域对应一个四元组
在任意一个未被截面穿过的区域内，令
qX = ⌊5λX⌋ (X=A,B,C,D)
于是 qX∈{0,1,2,3,4}。同一四元组给出的集合是凸集，所以非空时恰好对应一个连通的三维部分。
正四面体 · 平行截面 · 组合计数
把看不见的 65 块，
一层一层拆给你看。
6 条棱上的 24 个分点会作出 48 次平面，但其中只有 16 个不同的截面。旋转、筛选、拆开模型，亲手看清每一块从哪里来。
24个内分点
48次作平面
16个不同平面
65个三维部分
交互实验
从分点走到分块
任意方向拖动 · 360° 自由旋转 · 滚轮缩放
24 个分点
A 离你最近
任意方向拖动 · 360° 自由旋转
当前区域
区域 #01
S = 2
四个重心坐标各落在指定的五分区间内。
完整解答
把空间问题，变成四个整数的和
设点的重心坐标为 (λA, λB, λC, λD)，它们都不小于 0，且总和恒为 1。平行于面 BCD 的平面就是 λA=常数；其余三个方向同理。
6 × 4 = 24棱上的内分点
每点作 2 个→
24 × 2 = 48作平面的动作
同层三次重合→
4 × 4 = 16真正不同的平面
只有三种可能的和
记 S=qA+qB+qC+qD。因为
qX/5 < λX < (qX+1)/5
四式相加，并利用 ΣλX=1，得到 S<5<S+4，故 S 只能是 2、3、4。
S = 2
C(5,3) = 10 10 个四元组S = 3
C(6,3) = 20 20 个四元组S = 4
C(7,3) = 35 35 个四元组总计
65 个部分答案65
这些平面将正四面体分成 65 个部分。一般地，若每条棱 n 等分，同样作图，分块数为 (n³+n)/2。